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絕密★啟用前

2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數學

注意事項：

????????????? 1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

一、選擇題

1

設則(   )

A.????????????? ????????????? B.????????????? ????????????? C.????????????? ????????????? D.

2已知集合 ,則(   )

A.
B.
C.
D.

3.某地區(qū)經過一年的新農村建設,農村的經濟收入增加了一倍,實現翻番。為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況,統(tǒng)計了該地區(qū)系農村建設前后農村的經濟收入構成比例。得到如下餅圖:

則下面結論中不正確的是(   )

A.新農村建設后,種植收入減少
B.新農村建設后,其他收入增加了一倍以上
C.新農村建設后,養(yǎng)殖收入增加一倍
D.新農村建設后,養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半

4記為等差數列的前項和,若,則(   )

A.-12        B.-10        C.10         D.12

5設函數,若為奇函數,則曲線在點處的切線方程為(   )

A.????????????? ????????????? ????????????? B.

C.????????????? ????????????? ????????????? D.

6 在中,為邊上的中線,為的中點,則(   )

A.????????????? ????????????? ????????????? B.
C.????????????? ????????????? ????????????? D.

7某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如下圖。圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為(   )

A.????????????? ????????????? ????????????? B.????????????? ????????????? ????????????? C.????????????? ????????????? ????????????? D.

8 設拋物線的焦點為,過點且斜率為的直線與交于兩點,則(  )

A.5          B.6          C.7          D.8

9 已知函數,,在存在個零點,則的取值范圍是(   )

A.????????????? ????????????? ????????????? B.????????????? ????????????? ????????????? C.????????????? ????????????? ????????????? D.

10下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個車圈構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊.的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ,在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分別記為,則(   )

A.????????????? ????????????? ????????????? B.????????????? ????????????? ????????????? C.????????????? ????????????? ????????????? D.

11已知雙曲線,為坐標原點,為的右焦點,過的直線與的兩條漸近線的交點分別為若為直角三角形,則(   )

A.????????????? ????????????? ????????????? B.????????????? ????????????? ????????????? C.????????????? ????????????? ????????????? D.

12已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面所成的角都相等,則截此正方體所得截面面積的最大值為(   )

A.????????????? ????????????? ????????????? B.????????????? ????????????? ????????????? C.????????????? ????????????? ????????????? D.

二、填空題

13若滿足約束條件則的最大值為        。

14記為數列的前n項的和,若,則        。

15.從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有__________種.(用數字填寫答案)

16已知函數,則的最小值是        。

三、解答題

17

在平面四邊形中,

1.求;

2.若求

18如圖,四邊形為正方形,分別為的中點,以為折痕把折起,使點到達點的位置,且.

1. 證明:平面平面;

2.求與平面所成角的正弦值

19 設橢圓的右焦點為,過得直線與交于兩點,點的坐標為.

1.當與軸垂直時,求直線的方程;

2.設為坐標原點,證明:

20某工廠的某種產品成箱包裝,每箱產品在交付用戶前要對產品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品,檢驗時,先從這箱產品中任取20件作檢驗,再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗。設每件產品為不合格的概率為品(),且各件產品是否為不合格品相互獨立

1.記20件產品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點

2.現對一箱產品檢驗了20件,結果恰有2件不合格品,以(1)中確定的  作為的值。已知每件產品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用

①若不對該箱余下的產品作檢驗,這一箱的檢驗費用與賠償費用的和記為,求;

②檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據,是否該對這箱余下的所有產品作檢驗?    

21已知函數

1.討論的單調性;

2.若存在兩個極值點,證明:

22[選修4—4:坐標系與參數方程]

    在直角坐標系中,曲線的方程為,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為    

1.求的直角坐標方程

2. 若與有且僅有三個公共點,求的方程

23[選修4—5:不等式選講]

已知    

1.當時,求不等式的解集

2.若時,不等式成立,求的取值范圍

參考答案

一、選擇題

答案： C

解析： ,,故選C

答案： B

解析： 由題得=或，故，故選B

3.答案：A

解析：設建設前總經濟收入為則建設后總經濟收入為

對于,建設前種植收入為,建設后種植收入為故借誤:

對于,建設前其他收入為,建設后其他收入為,故正確

對于,建設前養(yǎng)殖收入為,建設后養(yǎng)殖收入為,故正確:

對于,建設后,養(yǎng)殖收入占,第三產業(yè)收入占,故正確:

答案： B

解析： 由為等差數列，且，故有，即又由，故可得，故，故選B

答案： D

解析： 因為是奇函數，所以，即解得，所以，故切線方程為：，故選D

答案： A

解析： 由是邊上的中線，為的中點，故，故選A

答案： B

解析：

如圖，最小路徑，故選B

答案： D

解析： 由直線過點且斜率為故可得直線為,聯(lián)立直線與拋物線，解得或，故可設,則.又由拋物線焦點，故,,所以,故選D

答案： C

解析： 有兩個零點等價于與有兩個交點,由圖可知,當,即時,與有兩個交點,故選C

答案： A

解析： 假設,由三角形是直角三角形,故有,即,即有,故區(qū)域Ⅰ的面積為,區(qū)域Ⅱ的面積為,區(qū)域Ⅲ的面積為又由于總區(qū)域固定,故·即選A

答案： B

解析：

在中，

在中，

答案： A

解析： 如圖所示平面與平面的所有棱縮成角都相等

故平面，構造平面平面

設,則,

故=

當時

二、填空題

答案：

解析： 作出約束區(qū)域如圖所示,

目標函數化為

當直線經過時有最大截距,且此時取得最大值。

故當時取得最大值

答案：

解析： 由題意,當時,,解得

當時

化簡得

故是以為首項,為公比的等比數列,因此

15.答案：16

解析：在人中任選人的選法總共有種;選出的人勸慰男生的選法共有種

故至少有一位女生入選的選法共有種

答案：

解析： 顯然,故是以為周期的函數

又

故當,即時,單調遞增

當,即時,單調遞減

所以時,取得最小值

不妨令,取代入得

三、解答題

答案： 1.在中,由正弦定理可知:∴∴

由得∵∴
2.∵,

又由余弦定理知:

解得:∴

答案： 1.證明:∵分別為的中點,四邊形為正方形∴∴∵,∴

而:∴平面,而平面,∴平面平面
2.記正方形邊長為則:,且由翻折的性質可知:

∴過作于連接,由1知:平面平面,平面平面,∴平面,∴即為與平面所成的角.記,則,∴,在中,由勾股定理得:,即,解得∴

∴即與平面所成的角的正弦值為

答案： 1.依題意,右焦點,當與軸垂直時,則點的坐標為,所以當時,直線方程為

所以當時,直線方程為
2.①當直線與軸垂直時,兩點分別為和根據對稱性可知,所以

②當直線不與垂直時,設直線的方程為聯(lián)立方程組

設,則則

答案： 1.

令,

當時,單調遞增

當時,,單調遞減

所以,當時,有最大

2.①有題意可知

設剩余件產品恰有件是不合格品,則

②若對余下產品進行檢查時,則質檢費用與賠償費用之和為元,因為,所以需要檢驗

答案： 1.

當時,,此時在上單調遞減;

當時,令,判別式

當時,此時,,從而在上單調遞減

當時,此時,設的兩根為,且,利用求根公式得

當時,,從而,在和單調遞減

當時,,從而,此時在上單調遞增

綜上所述,當時,在上單調遞減

當時,在和上單調遞減,在上單調遞增
2.由可知,若有兩個極值點,則,且的兩根即為

且滿足韋達定理,易得,

因,可得,即

若要證,只須證,即證

整理得

構造函數,求導得

因此在上單調遞減

從而成立,原式得證

答案： 1.

則,即

所以的直角坐標方程為
2.由題可知圓心坐標為,半徑

又曲線方程,關于軸對稱,且曲線過圓外定點

∴當曲線與圓有且僅有個交點時,設曲線在軸的右半部分與圓相切于點,

此時,

則,

,即直線的方程為

答案： 1.當時,則

∴當時,即

又當時,滿足

綜上:
2.當時,恒成立

即時有:

即,兩邊平方化簡可得:

又,則成立

函數可看作斜率為的直線,且在處取最大值

則

即的取值范圍是