用極限定義證明數(shù)列極限的關(guān)鍵是對Πε>0，都能找到一個正整數(shù)N，當(dāng)n>N時，有|an-a|<ε成立，這里的Πε>0，由證題者自己給出。因此，關(guān)鍵是找出N。

極限定義證明數(shù)列極限的關(guān)鍵

1、對Πε>0，都能找到一個正整數(shù)N，當(dāng)n>N時，有|an-a|<ε成立，這里的Πε>0，由證題者自己給出。因此。關(guān)鍵是找出N。那么，如何尋找N呢?

2、顯然，要尋找的N，一定要滿足當(dāng)n>N時，有|an-a|<ε成立。而|an-a|可以看成是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，我們可以通過求解不等式|an-a|<ε，找到使|an-a|<ε成立，n所要滿足的條件，亦即不等式|an-a|<ε的解集。該解集是自然數(shù)集N的無限子集，對同一個ε，N并不惟一。

3、因此，只需在該解集找出一個作為N即可。這樣尋找N的工作就轉(zhuǎn)化成求解不等式|an-a|<ε的問題了。

六種方法

1、利用數(shù)列極限

2、利用極限性質(zhì)

3、利用迫斂性

4、利用級數(shù)收斂的必要條件

5、利用單調(diào)有界原理

6、利用柯西準(zhǔn)則

數(shù)列極限

設(shè){Xn}為實數(shù)列，a為定數(shù).若對任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時有∣Xn-a∣<ε則稱數(shù)列{Xn}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{Xn}的極限，并記作Xn→a(n→∞)

讀作“當(dāng)n趨于無窮大時，{Xn}的極限等于或趨于a”。

若數(shù)列{Xn}沒有極限，則稱{Xn}不收斂，或稱{Xn}為發(fā)散數(shù)列。

該定義常稱為數(shù)列極限的ε-N定義。

對于收斂數(shù)列有以下兩個基本性質(zhì)，即收斂數(shù)列的唯一性和有界性。

定理1：如果數(shù)列{Xn}收斂，則其極限是唯一的。

定理2：如果數(shù)列{Xn}收斂，則其一定是有界的。即對于一切n(n=1,2……)，總可以找到一個正數(shù)M，使|Xn|≤M。