當函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個偏導數(shù)f'x(x0,y0)與f'y(x0,y0)都存在時，我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導。如果函數(shù)f(x,y)在域D的每一點均可導，那么稱函數(shù)f(x,y)在域D可導。

公式

?z/?x=[√(x2+y2)-x·2x/2√(x2+y2)]/(x2+y2)=y2/[(x2+y2)^(3/2)]

?z/?y=-x·2y/2√(x2+y2)^(3/2)]=-xy/[(x2+y2)^(3/2)]

?2z/?x2=-(3/2)y2·2x/[(x2+y2)^(5/2)]=-3xy2/[(x2+y2)^(5/2)]

?2z/?x?y=[2y·[(x2+y2)^(3/2)-y2·(3/2)·[(x2+y2)^(1/2)2y]/[(x2+y2)3]

求二階偏導數(shù)的方法

當函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個偏導數(shù)f'x(x0,y0)與f'y(x0,y0)都存在時，我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導。如果函數(shù)f(x,y)在域D的每一點均可導，那么稱函數(shù)f(x,y)在域D可導。

此時，對應于域D的每一點(x,y)，必有一個對x(對y)的偏導數(shù)，因而在域D確定了一個新的二元函數(shù)，稱為f(x,y)對x(對y)的偏導函數(shù)。簡稱偏導數(shù)。

按偏導數(shù)的定義，將多元函數(shù)關(guān)于一個自變量求偏導數(shù)時，就將其余的自變量看成常數(shù)，此時他的求導方法與一元函數(shù)導數(shù)的求法是一樣的。

設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)，點(x0,y0)是其定義域D內(nèi)一點。把y固定在y0而讓x在x0有增量△x，相應地函數(shù)z=f(x,y)有增量（稱為對x的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果△z與△x之比當△x→0時的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數(shù)，記作f'x(x0,y0)或函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數(shù)。

把y固定在y0看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(x,y0)在x0處的導數(shù)。同樣，把x固定在x0，讓y有增量△y，如果極限存在那么此極限稱為函數(shù)z=(x,y)在(x0,y0)處對y的偏導數(shù)。記作f'y(x0,y0)。

性質(zhì)

（1）如果一個函數(shù)f(x)在某個區(qū)間I上有f''(x)（即二階導數(shù)）>0恒成立，那么對于區(qū)間I上的任意x,y，總有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果總有f''(x)<0成立，那么上式的不等號反向。

幾何的直觀解釋：如果一個函數(shù)f(x)在某個區(qū)間I上有f''(x)（即二階導數(shù)）>0恒成立，那么在區(qū)間I上f(x)的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函數(shù)圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。

（2）判斷函數(shù)極大值以及極小值。

結(jié)合一階、二階導數(shù)可以求函數(shù)的極值。當一階導數(shù)等于0，而二階導數(shù)大于0時，為極小值點。當一階導數(shù)等于0，而二階導數(shù)小于0時，為極大值點；當一階導數(shù)和二階導數(shù)都等于0時，為駐點。

（3）函數(shù)凹凸性。

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b)內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，那么，

1.若在（a,b)內(nèi)f''(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的；

2.若在（a,b)內(nèi)f’‘(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。