極坐標(biāo)與參數(shù)方程公式：x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=y/x，x2+y2=ρ2。

坐標(biāo)系與參數(shù)方程公式

x=ρcosθ，y=ρsinθ

tanθ=y/x,x2+y2=ρ2

有些曲線的方程在直角坐標(biāo)里面不太好處理，于是我們把它換在極坐標(biāo)中處理。

例如經(jīng)過(guò)上面式子的變換：

以原點(diǎn)為圓心的圓的方程：ρ=R

雙曲線，橢圓，拋物線的極坐標(biāo)統(tǒng)一形式：ρ=eP/（1-ecosθ），P為焦準(zhǔn)距，e為離心率。

常見(jiàn)參數(shù)方程

極坐標(biāo)方程

用極坐標(biāo)系描述的曲線方程稱作極坐標(biāo)方程，通常用來(lái)表示ρ為自變量θ的函數(shù)。

極坐標(biāo)方程經(jīng)常會(huì)表現(xiàn)出不同的對(duì)稱形式，如果ρ(?θ）=ρ（θ），則曲線關(guān)于極點(diǎn)（0°/180°）對(duì)稱，如果ρ（π-θ）=ρ（θ），則曲線關(guān)于極點(diǎn)（90°/270°）對(duì)稱，如果ρ（θ?α）=ρ（θ），則曲線相當(dāng)于從極點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α°。

圓

在極坐標(biāo)系中，圓心在（r，φ）半徑為r的圓的方程為

ρ=2rcos（θ-φ）

另：圓心M(ρ',θ')半徑r的圓的極坐標(biāo)方程為:

(ρ')2+ρ2-2ρρ'cos(θ-θ')=r2

根據(jù)余弦定理可推得。

直線

經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的射線由如下方程表示

θ=φ，

其中φ為射線的傾斜角度，若m為直角坐標(biāo)系的射線的斜率，則有φ=arctanm。任何不經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的直線都會(huì)與某條射線垂直。這些在點(diǎn)（r′，φ）處的直線與射線θ=φ垂直，其方程為r′（θ）=r′sec（θ-φ）。

玫瑰線

極坐標(biāo)的玫瑰線是數(shù)學(xué)曲線中非常著名的曲線，看上去像花瓣，它只能用極坐標(biāo)方程來(lái)描述，方程如下：

r（θ）=acoskθ

或r（θ）=asinkθ，

如果k是整數(shù)，當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)那么曲線將會(huì)是k個(gè)花瓣，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)曲線將是2k個(gè)花瓣。如果k為非整數(shù)，將產(chǎn)生圓盤（disc）狀圖形，且花瓣數(shù)也為非整數(shù)。注意：該方程不可能產(chǎn)生4的倍數(shù)加2（如2，6，10……）個(gè)花瓣。變量a代表玫瑰線花瓣的長(zhǎng)度。

阿基米德螺線

右圖為方程r（θ）=θf(wàn)or0<θ<6π的一條阿基米德螺線。

阿基米德螺線在極坐標(biāo)里使用以下方程表示：r（θ）=a+bθ，

改變參數(shù)a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ>0，另一條θ<0。兩條螺線在極點(diǎn)處平滑地連接。把其中一條翻轉(zhuǎn)90°/270°得到其鏡像，就是另一條螺線。

圓錐曲線

圓錐曲線方程如下：r=ep/(1+ecosθ)

其中l(wèi)表示半徑，e表示離心率。如果e<1，曲線為橢圓，如果e=1，曲線為拋物線，如果e>1，則表示雙曲線。

或者r=ep/(1-ecosθ)

其中e表示離心率，p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。

其他曲線

由于坐標(biāo)系統(tǒng)是基于圓環(huán)的，所以許多有關(guān)曲線的方程，極坐標(biāo)要比直角坐標(biāo)系（笛卡兒坐標(biāo)系）簡(jiǎn)單得多。比如雙紐線，心臟線。