∵(a-b)2=a2-2ab+b2≧0；∴a2+b2≧2ab；當(dāng)且僅僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立(a，b∈R）?！?√m-√n)2=m-2√(mn)+n≧0；∴m+n≧2√(mn)；當(dāng)且僅僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立(m，n∈R+)。

均值不等式證明

用數(shù)學(xué)歸納法的證明

第一步：等價(jià)變換，分子增加又減去同一項(xiàng)，巧妙處是這一項(xiàng)指數(shù)的選取，正好是要證明的右端。

第二步：（1）把前面（a1+a2+...+ak）用上面假設(shè)n=k成立時(shí)較小的右端乘k代替，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k),兩邊乘k：

a1+a2+...+ak≥k（a1a2...ak）^(1/k),

因此≥成立。

（2）難點(diǎn)是a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

其實(shí)也很好證明（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，看成是k-1個(gè)數(shù)，加上a（k+1），也是k個(gè)數(shù)。

根據(jù)上面假設(shè)，n=k時(shí)，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k)是成立的，

注意?。?！a1，a2，...，ak只是正數(shù)的代表，不限于什么正數(shù)，換成k個(gè)數(shù)：a（k+1），和k-1個(gè)（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，這個(gè)不等式也是成立的！代換一下，就成了：

a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

第三步：

前面兩項(xiàng)提取k之后成為：

（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

使用前面一開始證明的n=2時(shí)的結(jié)果，a1+a2≥2√（a1a2）（當(dāng)成公式，不是當(dāng)成數(shù)）

（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

≥2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)

=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)

=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k(k+1)]]}^(1/2)

=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k+1/(k+1)]]}^(1/2)

=2{（a1a2...aka(k+1)）^(1/k)[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k]]}^(1/2)

=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k+1/k]]}^(1/2)

=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）]]}^(1/2)

=2(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）]

然后代入即可。