變上限積分求導(dǎo)公式

2019-12-19 13:13:35文/董月

變上限積分求導(dǎo)公式：即∫f(t)dt（積分限a到x），根據(jù)映射的觀點(diǎn)，每給一個(gè)x就積分出一個(gè)實(shí)數(shù)，因此這是關(guān)于x的一元函數(shù)，記為g(x)=∫f(t)dt（積分限a到x），注意積分變量用什么符號(hào)都不影響積分值，改用t是為了不與上限x混淆。

變上限積分求導(dǎo)公式

證明過程

現(xiàn)在用導(dǎo)數(shù)定義求g'(x)，根據(jù)定義，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趨于0，積分限前者為a到x+h，后者為a到x）=lim∫f(t)dt/h（積分限x到x+h，根據(jù)的是積分的區(qū)間可加性），根據(jù)積分中值定理，存在ξ屬于(x,x+h)，使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因?yàn)閔趨于0時(shí)ξ是趨于x的，故極限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此證明了g'(x)=f(x)。

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