π是無理數(shù)。因為，根據(jù)有理數(shù)的定義：有理數(shù)是一個整數(shù)a和一個正整數(shù)b的比，例如3/8，通則為a/b。有理數(shù)的小數(shù)部分是有限或為無限循環(huán)的數(shù)。而π=3.1415926...是無限不循環(huán)小數(shù)，不在有理數(shù)的范圍。

證明過程

假設(shè)π是有理數(shù)，則π=a/b，（a,b為自然數(shù)）

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

若0<x<a/b,則

0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)

0<sinx<1

以上兩式相乘得：

0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)

當(dāng)n充分大時，,在[0，π]區(qū)間上的積分有

0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）

又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數(shù)階導(dǎo)數(shù))

由于n!f(x)是x的整系數(shù)多項式，且各項的次數(shù)都不小于n，故f(x)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0點處的值也都是整數(shù)，因此，F(xiàn)(x)和F(π)也都是整數(shù)。

又因為

d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx

=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx

=F"(x)sinx+F(x)sinx

=f(x)sinx

所以有：

∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此處上限為π，下限為0）

=F(π)+F(0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]區(qū)間上的積分為整數(shù)，這與（1）式矛盾。所以π不是有理數(shù)，又它是實數(shù)，故π是無理數(shù)。

圓周率

圓周率是表示圓的周長與直徑比值的數(shù)學(xué)常數(shù)，用希臘字母π表示。π也等于圓形之面積與半徑平方之比，近似值約等于3.14159265359，是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值，在分析學(xué)里，π可以嚴(yán)格地定義為滿足sinx=0的最小正實數(shù)x。