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根號(hào)5是無(wú)理數(shù)嗎

2020-02-17 13:44:12文/張敏

根號(hào)5是無(wú)理數(shù)，常用的有2種方法來(lái)計(jì)算：（1）級(jí)數(shù)法。利用根號(hào)下(1+x)的泰勒展開(kāi)式。（2）迭代算法。利用迭代公式：x0=a/2，x(n+1)=(xn+a/xn)/2。

根號(hào)5是無(wú)理數(shù)嗎

證明過(guò)程

1、設(shè)根號(hào)下5不是無(wú)理數(shù)而是有理數(shù)，則設(shè)根號(hào)下5=p/q(p，q是正整數(shù)，且互為質(zhì)數(shù)，即最大公約數(shù)是1)。

2、兩邊平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

3、p^2含有因數(shù)5，設(shè)p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因數(shù)5，即q有因數(shù)5。

4、這樣p,q有公因數(shù)5，這與假設(shè)p,q最大公約數(shù)為1矛盾。

5、根號(hào)下5=p/q(p，q是正整數(shù)，且互為質(zhì)數(shù)，即最大公約數(shù)是1)不成立，

所以，根號(hào)下5不是有理數(shù)而是無(wú)理數(shù)。

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