2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，有一項是符合題目要求的。

1. 已知集合，，，則

A.

B.

C.

D.

2. 若為第四象限角，則

A.

B.

C.

D.

3．在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓，為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作。已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,。志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者

A．10名

B．18名

C．24名

D．32名

4.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、

下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊。下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次增加9塊。已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）

A．3699塊

B．3474塊

C．3402塊

D．3339塊

5.若過點(diǎn)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為

A.

B.

C.

D.

6.數(shù)列中，，，若，則

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

7.右圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為

A．

B．

C．

D．

8.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)。若△的面積為8，則的焦距的最小值為

A．4

B．8

C．16

D．32

9.設(shè)函數(shù)，則

A.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增

D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減

10. 已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球的球面上。若球的表面積為，則到平面的距離為

A．

B．

C. 1

D．

11.????????????? 若則

A.

B.

C.

D.

12. 周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用,若序列滿足 ,且存在正整數(shù),使得成立,則稱其為周期序列,并滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期,對于周期為m的0-1序列, 是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo),下列周期為5的0-1的序列中,滿足的序列是

A.

B.

C.

D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知單位向量，的夾角為45°，與垂直，則k=_______.

14.4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有??? 種。

15.設(shè)復(fù)數(shù)，滿足,則，則_______

16.設(shè)有下列四個命題：

：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).

：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個平面.

：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

：若直線平面，直線平面，則.

則下述命題中所有真命題的序號是_________.

①

②

③

④

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題，共60分。

17.（12分）

????????????? 中，，

（1）    求；

（2）    若，求周長的最大值.

18.（12分）

某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加，為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分為面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得

.

（1）    求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）

（2）    求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）    根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由。

附：相關(guān)系數(shù)，.

19. (12分)

已知橢圓:的右焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)重合，的中心與的頂點(diǎn)重合. 過F且與x軸垂直的直線交于A、B兩點(diǎn)，交于C、D兩點(diǎn)，且.

（1）    求的離心率；

（2）    設(shè)M是與的公共點(diǎn). 若，求與的標(biāo)準(zhǔn)方程.

20. 如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，,分別為,的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過和的平面交于，交于.

（1）證明：，且平面平面；

（2）設(shè)為的中心，若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值

21．（12分）

已知函數(shù)

（1）    討論在區(qū)間的單調(diào)性；

（2）    證明：；

（3）    設(shè)，證明.

（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做第一題計分。

22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (10分)

已知曲線的參數(shù)方程分別為

?????? ，，

（1）    將的參數(shù)方程化為普通方程：

（2）    以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)的交點(diǎn)為，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)和的圓的極坐標(biāo)方程.

23. [選修4—5：不等式選講]（10分）

已知函數(shù).

（1）    當(dāng)a=2時，求不等式f(x)≥4的解集；

（2）    若f(x)≥4，求a的取值范圍.

參考答案：

選擇題：1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C 11.A 12.C

填空題：13.

14.36

15. 
16. ①③④

解答題：

17、

18、

（3）      根據(jù)各地塊間植物覆蓋面積進(jìn)行分層抽樣

19、

20、

21、

選考題22、

選考題23、