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為什么連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)

2020-08-03 09:39:50文/王君婷

一般來(lái)說(shuō),連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù),而存在原函數(shù)的函數(shù)不一定要求是連續(xù)函數(shù)。比如說(shuō)存在第一類間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn))的函數(shù)。原函數(shù)就是對(duì)函數(shù)進(jìn)行一次積分,存在必然是無(wú)窮個(gè)。

為什么連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)

一般來(lái)說(shuō),連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù),而存在原函數(shù)的函數(shù)不一定要求是連續(xù)函數(shù)。比如說(shuō)存在第一類間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn))的函數(shù),原函數(shù)就是對(duì)函數(shù)進(jìn)行一次積分,存在必然是無(wú)窮個(gè),基本的可以看成是曲線與x軸圍成的面積函數(shù)。

函數(shù)y=f(x)當(dāng)自變量x的變化很小時(shí),所引起的因變量y的變化也很小。例如,氣溫隨時(shí)間變化,只要時(shí)間變化很小,氣溫的變化也是很小的;又如,自由落體的位移隨時(shí)間變化,只要時(shí)間變化足夠短,位移的變化也是很小的。對(duì)于這種現(xiàn)象,我們說(shuō)因變量關(guān)于自變量是連續(xù)變化的,連續(xù)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖像是一條沒(méi)有斷裂的連續(xù)曲線。

原函數(shù)存在定理為:若f(x)在[a,b]上連續(xù),則必存在原函數(shù)。此條件為充分條件,而非必要條件。即若fx)存在原函數(shù),不能推出f(x)在[a,b]上連續(xù)。由于初等函數(shù)在有定義的區(qū)間上都是連續(xù)的,故初等在其定義區(qū)間上都有原函數(shù)。需要注意的是初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一定是初等函數(shù),初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)。這些基本概念其實(shí)也都是從定理推出來(lái),大多數(shù)時(shí)候理解完死記就好。

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