一個特征值只能有一個特征向量。特征值和特征向量都是數(shù)學(xué)概念，若σ是線性空間V的線性變換，σ對V中某非零向量x的作用是伸縮，σ（x）=aζ，則稱x是σ的屬于a的特征向量，a稱為σ的特征值。

位似變換σk（即對V中所有a，有σk（a）=kα）使V中非零向量均為特征向量，它們同屬特征值k；而旋轉(zhuǎn)角θ（0<θ<π）的變換沒有特征向量?？梢酝ㄟ^矩陣表示求線性變換的特征值、特征向量。

若A是n階方陣，I是n階單位矩陣，則稱xI－A為A的特征方陣，xI-A的行列式|xI－A|展開為x的n次多項式fA（x）=xn－（a11+…+ann）xn-1+…+（－1）n|A|，稱為A的特征多項式，它的根稱為A的特征值。若λ0是A的一個特征值，則以λ0I－A為系數(shù)方陣的齊次方程組的非零解x稱為A的屬于λ的特征向量：Ax=λ0x。L.歐拉在化三元二次型到主軸的著作里隱含出現(xiàn)了特征方程概念，J.L.拉格朗日為處理六大行星運動的微分方程組首先明確給出特征方程概念。特征方程也稱永年方程，特征值也稱本征值、固有值。固有值問題在物理學(xué)許多部門是重要問題。線性變換或矩陣的對角化、二次型化到主軸都?xì)w為求特征值特征向量問題。每個實對稱方陣的特征根均為實數(shù)。A.凱萊于19世紀(jì)中期通過對三階方陣驗證，宣告凱萊-哈密頓定理成立，即每個方陣A滿足它的特征方程，fA(A)=An－(a11+…+ann)An-1+…+(－1)n|A|I=0。