有界函數(shù)是設f(x)是區(qū)間E上的函數(shù)，若對于任意的x屬于E，存在常數(shù)m、M，使得m≤f(x)≤M，則稱f(x)是區(qū)間E上的有界函數(shù)。其中m稱為f(x)在區(qū)間E上的下界，M稱為f(x)在區(qū)間E上的上界。

有界函數(shù)的定義

設函數(shù)f(x)的定義域為D，f（x）集合D上有定義。

如果存在數(shù)K1，使得 f(x)≤K1對任意x∈D都成立，則稱函數(shù)f(x)在D上有上界。

反之，如果存在數(shù)字K2，使得 f(x)≥K2對任意x∈D都成立，則稱函數(shù)f(x)在D上有下界，而K2稱為函數(shù)f(x)在D上的一個下界。

如果存在正數(shù)M，使得 |f(x)|≤M 對任意x∈D都成立，則稱函數(shù)在X上有界。如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f(x)在X上無界；等價于，無論對于任何正數(shù)M，總存在x1屬于X，使得|f(x1)|>M，那么函數(shù)f(x)在X上無界。

此外，函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界也有下界。

函數(shù)的性質

函數(shù)的有界性與其他函數(shù)性質之間的關系

函數(shù)的性質：有界性，單調性，周期性，連續(xù)性，可積性。

單調性：

閉區(qū)間上的單調函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

連續(xù)性：

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

可積性：

閉區(qū)間上的可積函數(shù)必有界。其逆命題不成立。