2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）

數(shù)學(xué)

一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1. 已知集合，則（    ）

A.  B.  C.  D.

2. “”是“”（    ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件

3. 若，則的大小關(guān)系為（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（    ）

A.  B.

C  D.

5. 已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為直線，一個(gè)周期為4，則的解析式可能為（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（    ）

A. 3 B. 18 C. 54 D. 152

7. 調(diào)查某種群花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（    ）

A. 花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒(méi)有相關(guān)性

B. 花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)

C. 花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)

D. 若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是

8. 在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿足，線段上的點(diǎn)滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（    ）

A.  B.

C  D.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．

10. 已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)________．

11. 在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)________．

12. 過(guò)原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)________．

13. 甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為_(kāi)________；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為_(kāi)________．

14. 在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為_(kāi)________；若，則的最大值為_(kāi)________．

15. 若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)________．

三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

16. 在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．

（1）求值；

（2）求的值；

（3）求．

17. 三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).

（1）求證：//平面；

（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；

（3）求點(diǎn)到平面的距離．

18. 設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．

（1）求橢圓方程及其離心率；

（2）已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．

19. 已知是等差數(shù)列，．

（1）求的通項(xiàng)公式和．

（2）已知為等比數(shù)列，對(duì)于任意，若，則，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．

20. 已知函數(shù)．

（1）求曲線在處切線的斜率；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：；

（3）證明：．

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）

數(shù)學(xué)

一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

【1題答案】

【答案】A

【2題答案】

【答案】B

【3題答案】

【答案】D

【4題答案】

【答案】D

【5題答案】

【答案】B

【6題答案】

【答案】C

【7題答案】

【答案】C

【8題答案】

【答案】B

【9題答案】

【答案】D

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．

【10題答案】

【答案】##

【11題答案】

【答案】

【12題答案】

【答案】

【13題答案】

【答案】    ①.     ②. ##

【14題答案】

【答案】    ①.     ②.

【15題答案】

【答案】

三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

【16題答案】

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【17題答案】

【答案】（1）證明見(jiàn)解析   

（2）   

（3）

【18題答案】

【答案】（1）橢圓的方程為，離心率為.   

（2）.

【19題答案】

【答案】（1），；   

（2）(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)，前項(xiàng)和為.

【20題答案】

【答案】（1）   

（2）證明見(jiàn)解析    （3）證明見(jiàn)解析