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線面垂直的判定定理

2025-04-25 19:13:41文/吳海軍

當(dāng)一條直線與平面內(nèi)的任意直線均保持垂直狀態(tài),我們稱這條直線與該平面互相垂直。依據(jù)判定定理：若一條直線同時(shí)垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,則該直線必然垂直于整個(gè)平面。

線面垂直的判定定理

觀察圖示,直線l同時(shí)垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線a與b,現(xiàn)需證明：l⊥α。

線面垂直的判定定理

證明：鑒于與a或b平行的直線必然垂直于l,故后續(xù)討論聚焦于那些與a,b均不平行的直線。

首先,將直線a,b以及l(fā)平移,使它們相交于同一點(diǎn)O。接著,通過(guò)點(diǎn)O繪制任意直線g,并在g上選取一個(gè)異于O的點(diǎn)G。然后,過(guò)點(diǎn)G分別作GB∥a交b于點(diǎn)B,以及GA∥b交a于點(diǎn)A。連接線段AB,并設(shè)AB與OG的交點(diǎn)為C。

由于OA∥GB且OB∥GA,因此四邊形OAGB構(gòu)成平行四邊形,從而C為AB的中點(diǎn)。

依據(jù)中線定理,我們有OA2+OB2=2OC2+2AC2。在直線l上選取一個(gè)異于O的點(diǎn)D,連接DA和DB,再次應(yīng)用中線定理得到DA2+DB2=2DC2+2AC2。

將兩式相減,我們得到DA2-OA2+DB2-OB2=2DC2-2OC2。同時(shí),注意到OD⊥OA且OD⊥OB,因此可以推導(dǎo)出OD2+OD2=2DC2-2OC2,即CD2=OD2+OC2。

由此可得OD⊥OC。由于直線g的選取是任意的,因此直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直。

綜上所述,我們證明了l⊥α。

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