最常見(jiàn)的勾股定理證明方法是歐幾里得證明，設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。

在歐氏《幾何原本》中，勾股定理的證明方法是：以直角三角形的三條邊為邊，分別向外作正方形，然后利用面積方法加以證明。如圖，設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等，即，。

在這個(gè)定理的證明中，我們需要如下四個(gè)輔助定理：

如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）

三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半，如。

任意一個(gè)正方形的面積等于其兩邊長(zhǎng)的乘積。

任意一個(gè)矩形的面積等于其兩邊長(zhǎng)的乘積。

證明的方法如下：

設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

其邊為BC、AB和CA，依序繪成正方形CBDE、BAGF和ACIH。如上圖，

畫(huà)出過(guò)點(diǎn)A與BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因?yàn)锳B=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因?yàn)锳、K和L在同一直線上，所以四邊形面積。

因?yàn)镃、A和G在同一直線上，所以正方形面積。

因此=AB2。

同理可證，=AC2。

把這兩個(gè)結(jié)果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。