在學(xué)習(xí)簡單的分式方程的解法時,是將分式方程化為一元一次方程,復(fù)雜的(可化為一元二次方程)分式方程的基本思想也一樣,就是設(shè)法將分式方程"轉(zhuǎn)化"為整式方程。

解分式方程的基本方法

(1)去分母法

去分母法是解分式方程的一般方法,在方程兩邊同時乘以各分式的最簡公分母,使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。但要注意,可能會產(chǎn)生增根。所以,必須驗(yàn)根。

產(chǎn)生增根的原因:

當(dāng)最簡公分母等于0時,這種變形不符合方程的同解原理(方程的兩邊都乘以或除以同一個不等于零的數(shù),所得方程與原方程同解),這時得到的整式方程的解不一定是原方程的解。

檢驗(yàn)根的方法:

將整式方程得到的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn),看方程左右兩邊是否相等。

為了簡便,可把解得的根直接代入最簡公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根。必須舍去。

注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公

分母為0。

用去分母法解分式方程的一般步驟:

(i)去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;

(ii)解所得的整式方程;

(iii)驗(yàn)根做答

(2)換元法

為了解決某些難度較大的代數(shù)問題,可通過添設(shè)輔助元素(或者叫輔助未知數(shù))來解決。輔助元素的添設(shè)是使原來的未知量替換成新的未知量,從而把問題化繁為簡,化難為易,使未知量向已知量轉(zhuǎn)化,這種思維方法就是換元法。換元法是解分式方程的一種常用技巧,利用它可以簡化求解過程。

用換元法解分式方程的一般步驟:

(i)設(shè)輔助未知數(shù),并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式去表示方程中另外的代數(shù)

式;

(ii)解所得到的關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程,求出輔助未知數(shù)的值;

(iii)把輔助未知數(shù)的值代回原設(shè)中,求出原未知數(shù)的值;

(iv)檢驗(yàn)做答。

注意:(1)換元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用換元法把原方程化簡,把解一個比較復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為解兩個比較簡單的方程。

(2)分式方程解法的選擇順序是先特殊后一般,即先考慮能否用換元法解,不能用換元法解的,再用去分母法。

(3)無論用什么方法解分式方程,驗(yàn)根都是必不可少的重要步驟。

解分式方程一般步驟

①觀察分式方程的特征，注意看分母，能分解因式的先分解，然后去尋找最簡公分?jǐn)?shù)。

找最簡公分母的方法：將每個分母分解因式，找出所有出現(xiàn)因式的最高次冪，它們的積為最簡分母的因式。

②去分母，給分式方程中的每一項(xiàng)都乘最簡公分母，再約分，把原方程轉(zhuǎn)化為整式方程；

注意：去分母時要給每一項(xiàng)都乘以最簡公分母，不含分母的項(xiàng)不要忘乘最簡公分母。

③解這個整式方程，得到整式方程的解；

這一步一般需要運(yùn)用到整式的乘法、合并同類項(xiàng)、解一元一次方程或一元二次方程等知識點(diǎn)，之前的基礎(chǔ)不牢固的話，需要先去復(fù)習(xí)鞏固。

④驗(yàn)根，將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，那么整式方程的解是原分式方程的解；否則這個分式方程無解，x的值是這個分式方程的增根。

驗(yàn)根很容易被忽視，最終的解只是分式方程化為整式方程之后的解，不一定能滿足分式方程的分母不為0這個條件，所以需要驗(yàn)根。