線面垂直的判定定理證明：判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直。注意關(guān)鍵詞“相交”，如果是平行直線，則無法判定線面垂直。

線面垂直的判定定理證明

判定定理：

如果一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直。

注意關(guān)鍵詞“相交”，如果是平行直線，則無法判定線面垂直。需要相交的原因見下文。

反證法：

設(shè)有一直線l與面S上兩條相交直線AB、CD都垂直，則l⊥面S

假設(shè)l不垂直于面S，則要么l∥S，要么斜交于S且夾角不等于90。

當(dāng)l∥S時，則l不可能與AB和CD都垂直。這是因為當(dāng)l⊥AB時，過l任意作一個平面R與S交于m，則由線面平行的性質(zhì)可知m∥l

∴m⊥AB

又∵l⊥CD

∴m⊥CD

∴AB∥CD，與已知條件矛盾。

當(dāng)l斜交S時，過交點在S內(nèi)作一直線n⊥l，則n和l構(gòu)成一個新的平面T，且T和S斜交（若T⊥S，則n是兩平面交線。由面面垂直的性質(zhì)可知l⊥S，與l斜交S矛盾）。

∵l⊥AB

∴AB∥n

∵l⊥CD

∴CD∥n

∴AB∥CD，與已知條件矛盾。

綜上，l⊥S

代數(shù)法：

如圖，l與α內(nèi)兩條相交直線a，b都垂直，求證：l⊥α

證明：與a或b平行的直線必垂直l，因此接下來的討論圍繞與a，b不平行的直線進行。

先將a，b，l平移至相交于O點，過O作任意一條直線g，在g上取異于O的點G，過G作GB∥a交b于B，過G作GA∥b交a于A。連接AB，設(shè)AB與OG交點為C

∵OA∥GB,OB∥GA

∴四邊形OAGB是平行四邊形

∴C是AB中點

由中線定理，

在l上取異于O的點D，連接DA,DB，由中線定理

兩式相減可得

又注意到OD⊥OA,OD⊥OB

∴得

即

∴OD⊥OC

由g的任意性可知，l與α內(nèi)任意直線都垂直

∴l(xiāng)⊥α

向量法：

設(shè)直線l是與α內(nèi)相交直線a，b都垂直的直線，求證：l⊥α

證明：設(shè)a，b，l的方向向量為a，b，l

∵a與b相交，即a，b不共線

∴由平面向量基本定理可知，α內(nèi)任意一個向量c都可以寫成c= λa+ μb的形式

∵l⊥a，l⊥b

∴l(xiāng)·a=0，l·b=0

l·c=l·（λa+ μb）=λl·a+ μl·b=0+0=0

∴l(xiāng)⊥c

設(shè)c是α內(nèi)任一直線c的方向向量，則有l(wèi)⊥c

根據(jù)c的任意性，l與α內(nèi)任一直線都垂直

∴l(xiāng)⊥α

線面垂直的性質(zhì)定理

性質(zhì)定理1：如果一條直線垂直于一個平面，那么該直線垂直于平面內(nèi)的所有直線。

性質(zhì)定理2：經(jīng)過空間內(nèi)一點，有且只有一條直線垂直已知平面。

性質(zhì)定理3：如果在兩條平行直線中，有一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。

性質(zhì)定理4：垂直于同一平面的兩條直線平行。

推論：空間內(nèi)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行。（該推論意味著平行線的傳遞性不僅在平面幾何上，在空間幾何上也成立。）