非零特征值的個數(shù)與秩的關(guān)系：如果矩陣可以對角化,那么非0特征值的個數(shù)就等于矩陣的秩；如果矩陣不可以對角化,這個結(jié)論就不一定成立了。對于方陣而言，秩不小于非零特征值的個數(shù)。

矩陣的秩和特征值個數(shù)的關(guān)系

關(guān)系：

1、方陣A不滿秩等價于A有零特征值。

2、A的秩不小于A的非零特征值的個數(shù)。

證明：

定理1：n階方陣A可相似對角化的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。

定理2：設(shè)A為n階實對稱矩陣，則A必能相似對角化。

定理3：設(shè)A為n階實對稱矩陣，矩陣的秩r（A）=k，（0<k<n，k為正整數(shù)），則λ=0恰為A的n-k重特征值。

定理4：設(shè)A為n階方陣，矩陣的秩r（A）=k，（0<k<n，k為正整數(shù)），則λ=0至少為A的n-k的重特征值。

定理5：設(shè)A為n階方陣，矩陣的秩r（A）=k，（0<k<n，k為正整數(shù)），且A可相似對角化，則λ=0恰為A的n-k重特征值。

定理6：設(shè)A為n階方陣，矩陣的秩rf（A）=k，（0<k<n，k為正整數(shù)），且A可對角化，則λ=0恰為f（A）的n-k重特征值。

矩陣的秩的變化規(guī)律及證明

1、轉(zhuǎn)置后秩不變

2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩陣

3、r(kA)=r(A),k不等于0

4、r(A)=0 <=> A=0

5、r(A+B)<=r(A)+r(B)

6、r(AB)<=min(r(A),r(B))

7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)

證明：

AB與n階單位矩陣En構(gòu)造分塊矩陣

|AB O|

|O En|

A分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣,有

|AB A|

|0 En|

右邊兩塊矩陣分乘-B加到左邊兩塊矩陣,有

|0 A |

|-B En|

所以，r(AB)+n=r(第一個矩陣)=r(最后一個矩陣)>=r(A)+r(B)

即r(A)+r(B)-n<=r(AB)