復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)與有序?qū)崝?shù)對(a，b)是一一對應(yīng)關(guān)系。復(fù)數(shù)的幾何意義，是指復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)，一一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,b）。其中，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的實部（a）是其對應(yīng)點的橫坐標(biāo)，復(fù)數(shù)的虛部（b）是其對應(yīng)點的縱坐標(biāo)。

復(fù)數(shù)的定義

復(fù)數(shù)是形如a＋bi的數(shù)。式中a，b為實數(shù)，i是一個滿足i＝－1的數(shù)，因為任何實數(shù)的平方不等于－1，所以i不是實數(shù)，而是實數(shù)以外的新的數(shù)。在復(fù)數(shù)a＋bi中，a稱為復(fù)數(shù)的實部，b稱為復(fù)數(shù)的虛部，i稱為虛數(shù)單位。

當(dāng)虛部等于零時，這個復(fù)數(shù)就是實數(shù)；當(dāng)虛部不等于零時，這個復(fù)數(shù)稱為虛數(shù)，虛數(shù)的實部如果等于零，則稱為純虛數(shù)。由上可知，復(fù)數(shù)集包含了實數(shù)集，因而是實數(shù)集的擴(kuò)張。復(fù)數(shù)常用形式z＝a＋bi叫做代數(shù)式。

我們把形如z=a+bi（a、b均為實數(shù)）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)。其中，a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位。當(dāng)z的虛部b＝0時，則z為實數(shù)；當(dāng)z的虛部b≠0時，實部a＝0時，常稱z為純虛數(shù)。

復(fù)數(shù)域是實數(shù)域的代數(shù)閉包，即任何復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域中總有根。復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在16世紀(jì)首次引入，經(jīng)過達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受。

復(fù)數(shù)的四則運算公式

復(fù)數(shù)運算法則有：加減法、乘除法。兩個復(fù)數(shù)的和依然是復(fù)數(shù)，它的實部是原來兩個復(fù)數(shù)實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律。此外，復(fù)數(shù)作為冪和對數(shù)的底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)時，其運算規(guī)則可由歐拉公式e^iθ=cos θ+i sin θ（弧度制）推導(dǎo)而得。

加法法則：

復(fù)數(shù)的加法按照以下規(guī)定的法則進(jìn)行：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)，則它們的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

兩個復(fù)數(shù)的和依然是復(fù)數(shù)，它的實部是原來兩個復(fù)數(shù)實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3，有： z1+z2=z2+z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。

減法法則：

復(fù)數(shù)的減法按照以下規(guī)定的法則進(jìn)行：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)，則它們的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。兩個復(fù)數(shù)的差依然是復(fù)數(shù)，它的實部是原來兩個復(fù)數(shù)實部的差，它的虛部是原來兩個虛部的差。

乘法法則：

規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

其實就是把兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，展開得: ac+adi+bci+bdi2，因為i2=-1，所以結(jié)果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)。

在極坐標(biāo)下，復(fù)數(shù)可用模長r與幅角θ表示為(r,θ)。對于復(fù)數(shù)a+bi,r=√(a2+b2)，θ=arctan(b/a)。此時，復(fù)數(shù)相乘表現(xiàn)為幅角相加，模長相乘。

除法法則：

復(fù)數(shù)除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商。運算方法：可以把除法換算成乘法做，在分子分母同時乘上分母的共軛。所謂共軛你可以理解為加減號的變換，互為共軛的兩個復(fù)數(shù)相乘是個實常數(shù)。