2023年江蘇省高考仿真數(shù)學(xué)試卷

參考公式：柱體的體積，其中是柱體的底面積，是柱體的高．

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．

1．已知集合，則       ．

2．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部是       ．

3．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是       ．

4．將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是       ．

5．如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是       ．

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是       ．

7．已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，，則的值是       ．

8．已知=，則的值是       ．

9．如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半輕為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是       cm.

10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是       ．

11．設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是       ．

12．已知，則的最小值是       ．

13．在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是       ．

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則△PAB面積的最大值是       ．

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15．（14分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．

16．（14分）

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．

（1）求的值；

（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．

17．（14分）

某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上)．經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關(guān)系式.已知點(diǎn)B到的距離為40米．

（1）求橋AB的長度；

（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點(diǎn))．.橋墩EF每米造價(jià)k(萬元)、橋墩CD每米造價(jià)(萬元)(k>0)，問為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？

18．（16分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點(diǎn)B．

（1）求的周長；

（2）在x軸上任取一點(diǎn)P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，求的最小值；

（3）設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記與的面積分別為S1，S2，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

19．（16分）

已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．

（1）若，求h(x)的表達(dá)式；

（2）若，求k的取值范圍；

（3）若求證：．

20．（16分）已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ～k”數(shù)列．

（1）若等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；

（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）對于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ～3”數(shù)列，且？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

2023年江蘇省高考仿真數(shù)學(xué)試卷答案

1．  2．3  3．2 4．   5． 6．  7．   8．  9．  10． 11．4  12．    13．或0  14．

15．證明：因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.081.png" width="31" height="19" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />分別是的中點(diǎn)，所以.

又平面，平面，

所以平面.

（2）因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.089.png" width="40" height="21" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />平面，平面,

所以.

又,平面,平面,

所以平面.

又因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.091.png" width="38" height="17" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />平面,所以平面平面.

16．解：（1）在中，因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.105.png" width="125" height="23" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

由余弦定理，得，

所以.

在中，由正弦定理，

得，

所以

（2）在中，因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.113.png" width="97" height="38" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,所以為鈍角，

而,所以為銳角.

故則.

因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.119.png" width="97" height="38" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，所以，.

從而

.

17．解：（1）設(shè)都與垂直，是相應(yīng)垂足.

由條件知，當(dāng)時(shí)，

則.

由得

所以（米）.

（2）以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖所示）.

設(shè)則

.

因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.140.png" width="56" height="19" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />所以.

設(shè)則

所以

記橋墩和的總造價(jià)為，

則 

，

令 得

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.

答：（1）橋的長度為120米；

（2）當(dāng)為20米時(shí)，橋墩和的總造價(jià)最低.

18．解：（1）橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，

則.

所以的周長為.

（2）橢圓的右準(zhǔn)線為.

設(shè)，

則，

在時(shí)取等號.

所以的最小值為.

（3）因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，

則.

所以直線

設(shè)，因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.182.png" width="49" height="21" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，所以點(diǎn)到直線距離等于點(diǎn)到直線距離的3倍.

由此得，

則或.

由得，此方程無解；

由得，所以或.

代入直線，對應(yīng)分別得或.

因此點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

19．解:（1）由條件，得，

取，得，所以．

由，得，此式對一切恒成立，

所以，則，此時(shí)恒成立，

所以．

（2）.

令，則令，得.

所以.則恒成立，

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立．

另一方面，恒成立，即恒成立，

也即恒成立．

因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.227.png" width="33" height="18" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，對稱軸為，

所以，解得．

因此，k的取值范圍是

（3）①當(dāng)時(shí)，

由，得，整理得

令 則．

記

則恒成立，

所以在上是減函數(shù)，則，即．

所以不等式有解，設(shè)解為，

因此．

②當(dāng)時(shí)，

．

設(shè)，

令，得．

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．

，，則當(dāng)時(shí)，．

（或證：．）

則，因此．

因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.265.png" width="119" height="23" alt="學(xué)科網(wǎng)" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，所以．

③當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.268.png" width="32" height="20" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，均為偶函數(shù)，因此也成立．

綜上所述，．

20．解：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列是“λ～1”數(shù)列，則，即，

也即，此式對一切正整數(shù)n均成立．

若，則恒成立，故，而，

這與是等差數(shù)列矛盾．

所以．（此時(shí)，任意首項(xiàng)為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）

（2）因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列，

所以，即．

因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.284.png" width="39" height="21" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，所以，則．

令，則，即．

解得，即，也即，

所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列．

因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.294.png" width="61" height="21" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，所以．則

（3）設(shè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，

則，即．

因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.300.png" width="39" height="22" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，而，所以，則．

令，則，即．（*）

①若或，則（*）只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個(gè)．

（此數(shù)列為1，0，0，0，…）

②若，則（*）化為，

因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.313.png" width="36" height="21" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，所以，則（*）只有一解為，

即符合條件的數(shù)列只有一個(gè)．（此數(shù)列為1，0，0，0，…）

③若，則的兩根分別在（0，1）與（1，+∞）內(nèi)，

則方程（*）有兩個(gè)大于或等于1的解：其中一個(gè)為1，另一個(gè)大于1（記此解為t）．

所以或．

由于數(shù)列從任何一項(xiàng)求其后一項(xiàng)均有兩種不同結(jié)果，所以這樣的數(shù)列有無數(shù)多個(gè)，則對應(yīng)的有無數(shù)多個(gè)．

綜上所述，能存在三個(gè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，的取值范圍是．

21．【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

A．[選修4-2：矩陣與變換]（10分）

平面上點(diǎn)在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)．

（1）求實(shí)數(shù)，的值；

（2）求矩陣的逆矩陣．

B．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上（其中，）．

（1）求，的值；

（2）求出直線與圓的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)．

C．[選修4-5：不等式選講]（10分）

設(shè)，解不等式．

 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

 22．（10分）

在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)．

（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；

（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．

23．（10分）

甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．

（1）求p1，q1和p2，q2；

（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示) ．

 數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)參考答案

21．【選做題】

A．[選修4-2：矩陣與變換]

本小題主要考查矩陣的運(yùn)算、逆矩陣等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．滿分10分．

解：（1）因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.344.png" width="117" height="45" alt="學(xué)科網(wǎng)" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> ，所以

解得，所以．

（2）因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.348.png" width="84" height="45" alt="學(xué)科網(wǎng)" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，，所以可逆，

從而．

B．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．滿分10分．

解：（1）由，得；，又（0，0）（即（0，））也在圓C上，

因此或0．

（2）由得，所以．

因?yàn)?img src="http://img.gaosan.com/doc/184-20230505085957/20230505085957.360.png" width="36" height="20" alt="" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，，所以，．

所以公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為．

C．[選修4-5：不等式選講]

本小題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解和推理論證能力．滿分10分．

解：當(dāng)x>0時(shí)，原不等式可化為，解得；

當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得；

當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得．

綜上，原不等式的解集為．

22．【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力．滿分10分．

解：（1）連結(jié)OC，因?yàn)镃B =CD，O為BD中點(diǎn)，所以CO⊥BD．

又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．

以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O–xyz．

因?yàn)锽D=2，，AO=2，

所以B（1，0，0），D（–1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）．

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以E（0，1，1）．

則=（1，0，–2），=（1，1，1），

所以．

因此，直線AB與DE所成角的余弦值為．

（2）因?yàn)辄c(diǎn)F在BC上，，=（–1，2，0）．

所以．

又，

故．

設(shè)為平面DEF的一個(gè)法向量，

則即

取，得，，所以．

設(shè)為平面DEC的一個(gè)法向量，又=（1，2，0），

則即取，得，，

所以．

故．

所以．

23．【必做題】本小題主要考查隨機(jī)變量及其概率分布等基礎(chǔ)知識，考查邏輯思維能力和推理論證能力．滿分10分．

解：（1），，

，

．

（2）當(dāng)時(shí)，

，①

，②

，得．

從而，又，

所以，．③

由②，有，又，

所以，．

由③，有，．

故，．

的概率分布

則．