arctanx的原函數(shù)是x*arctanx-(1/2)ln(1+x2)+C。原函數(shù)是指對于一個定義在某區(qū)間的已知函數(shù)f(x)，如果存在可導函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都存在dF(x)=f(x)dx，則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。

推導過程

（求一個函數(shù)的原函數(shù)就是對其求積分）

∫ arctanx dx

=x*arctanx-∫xd(arctanx)

=x*arctanx-∫x/(1+x2)dx

=x*arctanx-(1/2)∫ d(x2)/(1+x2)

=x*arctanx-(1/2)∫ d(1+x2)/(1+x2)

=x*arctanx-(1/2)ln(1+x2)+C

所以arctanx的原函數(shù)解得為：x*arctanx-(1/2)ln(1+x2)+C

原函數(shù)

定義

已知函數(shù)f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在可導函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都有

若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。

例：sinx是cosx的原函數(shù)。

原函數(shù)存在定理

若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)必存在原函數(shù)，這是一個充分而不必要條件，也稱為“原函數(shù)存在定理”。

函數(shù)族F(x)+C(C為任一個常數(shù))中的任一個函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)，

故若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那么其原函數(shù)為無窮多個。

例如，x是3x的一個原函數(shù)，易知，x+1和x+2也都是3x的原函數(shù)。因此，一個函數(shù)如果有一個原函數(shù)，就有許許多多原函數(shù)，原函數(shù)概念是為解決求導和微分的逆運算而提出來的。

例如：已知作直線運動的物體在任一時刻t的速度為v=v(t),要求它的運動規(guī)律，就是求v=v(t)的原函數(shù)。原函數(shù)的存在問題是微積分學的基本理論問題，當f(x)為連續(xù)函數(shù)時，其原函數(shù)一定存在。

常用原函數(shù)