函數(shù)的性質(zhì)著重講解了單調(diào)性、奇偶性、周期性，但考試中還會(huì)考查函數(shù)對(duì)稱性、連續(xù)性、凹凸性。對(duì)稱性考查的頻率一直比較高，如二次函數(shù)的對(duì)稱軸，反比例函數(shù)的對(duì)稱性，三角函數(shù)的對(duì)稱性，尤其是抽象函數(shù)的對(duì)稱性判斷。

對(duì)稱性的概念

①函數(shù)軸對(duì)稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線對(duì)折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的軸對(duì)稱，該直線稱為該函數(shù)的對(duì)稱軸。

②中心對(duì)稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的中心對(duì)稱，該點(diǎn)稱為該函數(shù)的對(duì)稱中心。

函數(shù)的幾種變換

1、平移變換

函數(shù)y=f(x)的圖像向右平移a個(gè)單位得到函數(shù)y=f(x-a)的圖像;向上平移b個(gè)單位得到函數(shù)y=f(x)+b的圖像;左平移a個(gè)單位得到函數(shù)y=f(x+a)的圖像;向下平移b個(gè)單位得到函數(shù)y=f(x)-b的圖像(a，b>0)。

2、伸縮變換

函數(shù)y=f(x)的圖像上的點(diǎn)保持橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k倍(0<k<1時(shí)，縮;k>1時(shí)，伸)得到函數(shù)y=kf(x)的圖像;

函數(shù)y=f(x)的圖像上的點(diǎn)保持縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1/k倍(0<k<1時(shí)，伸;k>1時(shí)，縮)得到函數(shù)y=f(kx)的圖像(k>0，且k≠1)。

3、對(duì)稱變換

(1)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像為y=f(-x);

關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像為y=-f(x);關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為y=-f(-x)。

(2)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱的圖像為y=f(2a-x);關(guān)于y=b對(duì)稱的圖像為y=2b-f(x);關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱的圖像為y=2b-f(2a-x)。

(3)絕對(duì)值問(wèn)題

①函數(shù)y=f(x)x軸及其上方的圖像保持不變，把下方圖像關(guān)于x軸對(duì)稱的翻折到上方，再把下方的圖像去掉得到函數(shù)y=|f(x)|的圖像;

②函數(shù)y=f(x)y軸及其右側(cè)的圖像保持不變，把左側(cè)圖像去掉，再把右側(cè)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的翻折到左側(cè)得到函數(shù)y=f(|x|)的圖像;

③函數(shù)y=f(x)先用第②步的方法得到函數(shù)y=f(|x|)的圖像，再平移a個(gè)單位得到函數(shù)y=f(|x-a|)圖象。

對(duì)稱性的運(yùn)用

1、求值

“配對(duì)”，對(duì)稱性主要是考查一對(duì)函數(shù)值之間的關(guān)系。

2、“對(duì)稱性+對(duì)稱性”可以推導(dǎo)出周期性

兩個(gè)對(duì)稱性拼起來(lái)就可以將里面的符號(hào)化為同號(hào)，從而得出周期性。

3、“奇偶性+對(duì)稱性”可以推導(dǎo)出周期性

這在前面已經(jīng)提到，還是因?yàn)槠媾夹杂兄圃熵?fù)號(hào)的能力。

4、三角函數(shù)的奇偶性

幾乎所有的三角函數(shù)的奇偶性都是當(dāng)對(duì)稱性來(lái)使用，先求出所有的對(duì)稱軸，然后y軸是其中的一條(或者先求出所有的對(duì)稱中心，然后原點(diǎn)是其中的一個(gè))。

5、關(guān)于y=x對(duì)稱的應(yīng)用

(因?yàn)閒(x)=e^x與g(x)=lnx互為反函數(shù)，關(guān)于y=x對(duì)稱，而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一個(gè)單位得到，g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一個(gè)單位得到，因而對(duì)稱軸也跟著左移一個(gè)單位，即y=x+1)

6、對(duì)稱性的本義

對(duì)稱性的本義就是關(guān)于對(duì)稱中心(或?qū)ΨQ軸)對(duì)稱的兩個(gè)自變量的函數(shù)值的緊密關(guān)系。