不等式組平面區(qū)域畫法

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簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題是高考必考知識(shí)點(diǎn)，而其基礎(chǔ)在于研究二元一次不等式（組）所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域．下面介紹一些方法來快速準(zhǔn)確地確定二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

常見考法

  本節(jié)在段考中，主要是以選擇題和填空題的形式考查二元一次不等式組合簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)知識(shí)，以解答題的形式考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的應(yīng)用。在高考中各種題型都有出現(xiàn)，主要是考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題。

誤區(qū)提醒

  1、畫不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域時(shí)，有時(shí)容易邊界問題。有等號(hào)，要把邊界畫成實(shí)線，沒有等號(hào)，要把邊界畫成虛線。

  2、注意不要列錯(cuò)了線性約束條件。

方法一：直線定界，特殊點(diǎn)定域

找出一個(gè)二元一次不等式（組）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所表示的平面區(qū)域的基本方法是：

①畫直線②取特殊點(diǎn)③代值定域④求公共部分

①畫直線──作出各不等式對(duì)應(yīng)方程表示的直線（原不等式帶等號(hào)的作實(shí)線，否則作虛線）；

②取特殊點(diǎn)──平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線要么過原點(diǎn)，要么不過原點(diǎn)；當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)我們選取特殊點(diǎn)或（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)我們選取原點(diǎn)做特殊點(diǎn)；

③代值定域──將選取的特殊點(diǎn)代入所給不等式：如果不等式成立，則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點(diǎn)所在的區(qū)域；如果不等式不成立，則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點(diǎn)所在區(qū)域的另一邊．

④求公共部分──不等式組所確定的平面區(qū)域，是各個(gè)二元一次不等式所表示平面區(qū)域的公共部分．

例1　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域．

解析：①畫直線：不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是；不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是；在平面直角坐標(biāo)系中作出直線與（如圖）．

②取特殊點(diǎn)：直線過原點(diǎn)，可取特殊點(diǎn)；直線不過原點(diǎn)，可取特殊點(diǎn)．

③將代入，即，不等式不成立，直線另一側(cè)區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域；將代入，即，不等式成立，則原點(diǎn)所在區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域．（圖一）

④求公共部分：如圖二所示公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域．

方法二：法向量判定法

由平面解析幾何知識(shí)知道直線（不同時(shí)為0）的一個(gè)法向量為．以坐標(biāo)原點(diǎn)作為法向量的始點(diǎn)，可以利用向量?jī)?nèi)積證明如下結(jié)論：

（1）不等式（），不等式表示的平面區(qū)域就是法向量指向的區(qū)域；（大于同向）

（2）不等式（），不等式表示的平面區(qū)域就是法向量反向的區(qū)域；（小于反向）

例2　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域．

解析：①不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是，法向量；不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是，法向量；在平面直角坐標(biāo)系中作出直線與及其相應(yīng)的法向量（如圖）．

②由于不等式（），平面區(qū)域是法向量指向的區(qū)域（圖一）；不等式（），平面區(qū)域是法向量反向的區(qū)域（圖二）．

 ③然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域．

方法三：未知數(shù)系數(shù)化正法

直線（不同時(shí)為0）含有兩個(gè)未知數(shù)，于是我們可以將未知數(shù)的系數(shù)分為兩類：項(xiàng)系數(shù)與項(xiàng)系數(shù)來研究．

（1）項(xiàng)系數(shù)化正法：顧名思義就是利用不等式性質(zhì)，不等號(hào)兩邊同時(shí)（移項(xiàng)）將項(xiàng)系數(shù)化為正值，然后根據(jù)變形后關(guān)于的不等式中的不等號(hào)來確定區(qū)域位置（規(guī)定：軸正方向所指的區(qū)域?yàn)橹本€的上方；反之為下方）有結(jié)論：

項(xiàng)系數(shù)正值化：上；下．

例3　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域．

解析：①不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是；不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是；在平面直角坐標(biāo)系中作出直線與（如圖）．

②將不等式組中每個(gè)不等式項(xiàng)系數(shù)正值化，得或（移項(xiàng)）．

③關(guān)于的不等式（）即（或者），直線上方的區(qū)域就是該不等式所表示的平面區(qū)域（圖一）；關(guān)于的不等式（）即，直線下方的區(qū)域就是該不等式所表示的平面區(qū)域（圖二）．

④然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域．

（2）項(xiàng)系數(shù)化正法：同（1）一樣，不等號(hào)兩邊同時(shí)（或移項(xiàng)）將項(xiàng)系數(shù)化為正值，然后根據(jù)變形后關(guān)于的不等式中的不等號(hào)來確定區(qū)域位置（規(guī)定：軸正方向所指的區(qū)域?yàn)橹本€的右方；反之為左方）有結(jié)論：

項(xiàng)系數(shù)正值化：右；左．

可結(jié)合例3來對(duì)項(xiàng)系數(shù)化正法進(jìn)行理解．

上述方法中，方法一是尋找二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的常規(guī)方法，思維回路較長(zhǎng)，適合對(duì)理論的學(xué)習(xí)，但要快速準(zhǔn)確地解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題就必須掌握方法二或方法三中之一．