不一定，最簡(jiǎn)單的就是0矩陣,對(duì)稱不可逆，或者就a11=1,其余元都是0的矩陣對(duì)稱不可逆。實(shí)對(duì)稱矩陣是正交矩陣，不是所有的實(shí)對(duì)稱陣都是正交矩陣。這里的P是是對(duì)稱矩陣，且剛好P的逆等于P的轉(zhuǎn)置，所以P也是正交矩陣。這只是一種特殊情況。

對(duì)稱矩陣一定可逆嗎

對(duì)稱矩陣是指以主對(duì)角線為對(duì)稱軸，各元素對(duì)應(yīng)相等的矩陣。

在線性代數(shù)中，對(duì)稱矩陣是一個(gè)方形矩陣，其轉(zhuǎn)置矩陣和自身相等。兩個(gè)對(duì)稱矩陣的積是對(duì)稱矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)兩者的乘法可交換，兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣乘法可交換當(dāng)且僅當(dāng)兩者的特征空間相同。

1855年，埃米特證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來(lái)，克萊伯施、布克海姆等證明了對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì)，泰伯引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。

為什么實(shí)對(duì)稱矩陣可以對(duì)角化

這涉及到一系列的定理,不是在這里可以詳細(xì)解答的,告訴你這些定理,并注明在同濟(jì)《線性代數(shù)》第三版中的位置,你可以詳細(xì)閱讀,其它版本的《線性代數(shù)》可以到相應(yīng)地方去找.

定理1：n階矩陣A能與對(duì)角陣相似的充要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.(p146定理4)

定理2：實(shí)對(duì)稱陣A的特征值都是實(shí)數(shù).(p147定理5)

由這個(gè)定理可以知道,實(shí)對(duì)稱陣一定存在實(shí)特征向量.

定理3：實(shí)對(duì)稱陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定是互相正交的.(p147定理6)

注：正交的向量組一定是線性無(wú)關(guān)的向量組.

定理4：實(shí)對(duì)稱陣A的r重特征值λ一定有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.(p148定理7)

由這個(gè)定理可以知道,n階實(shí)對(duì)稱陣一定有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.

結(jié)合定理1與定理4,就可以得到你需要的結(jié)論.