n階矩陣有n個(gè)特征值（包括相同的特征值）。三階矩陣就一定有3個(gè)特征值，因?yàn)榍筇卣髦档臅r(shí)候，是算|xE-A|=0的根，|xE-A|是個(gè)3次多項(xiàng)式，必定有3個(gè)根。矩陣的秩就是非零特征值的個(gè)數(shù)。現(xiàn)在r(A)=1，就是說(shuō)，3個(gè)根中只有1個(gè)非零根，那剩下兩個(gè)必定是0，是這樣看出來(lái)的。

n階矩陣至少有n個(gè)特征值嗎

是的，n階矩陣一定有n個(gè)特征值。因?yàn)樘卣髦凳翘卣鞫囗?xiàng)式的根,n階方陣的特征多項(xiàng)式是個(gè)n次多項(xiàng)式,根據(jù)代數(shù)基本定理,n次多項(xiàng)式有且只有n個(gè)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算),這些根可能是實(shí)數(shù),也可能是復(fù)數(shù)。

更加詳細(xì)的說(shuō)法為：一個(gè)n階矩陣一定有n個(gè)特征值（包括重根），也可能是復(fù)根。一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣一定有n個(gè)實(shí)特征值（包括重根）。每一個(gè)特征值至少有一個(gè)特征向量（不止一個(gè)）。不同特征值對(duì)應(yīng)特征向量線性無(wú)關(guān)。

n階矩陣相關(guān)信息

設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n階矩陣，λ是一個(gè)未知量。

稱為A的特征多項(xiàng)式，記|(λ)=|λE-A|，是一個(gè)P上的關(guān)于λ的n次多項(xiàng)式，E是單位矩陣。

|(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一個(gè)n次代數(shù)方程，稱為A的特征方程。特征方程|(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)稱為A的特征根(或特征值)。n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且僅有n個(gè)根，而在實(shí)數(shù)域內(nèi)不一定有根，因此特征根的多少和有無(wú)，不僅與A有關(guān)，與數(shù)域P也有關(guān)。

性質(zhì)1：若λ是可逆陣A的一個(gè)特征根，x為對(duì)應(yīng)的特征向量，則1/λ 是A的逆的一個(gè)特征根，x仍為對(duì)應(yīng)的特征向量。

性質(zhì)2：若 λ是方陣A的一個(gè)特征根，x為對(duì)應(yīng)的特征向量，則λ 的m次方是A的m次方的一個(gè)特征根，x仍為對(duì)應(yīng)的特征向量。

性質(zhì)3：設(shè)λ1，λ2，…,λm是方陣A的互不相同的特征值。xj是屬于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，則x1,x2,…,xm線性無(wú)關(guān)，即不相同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。