復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個概念，表示包含實數(shù)和虛數(shù)部分的數(shù)。復(fù)數(shù)以a+bi的形式表示，其中a為實數(shù)部分，b為虛數(shù)部分，i表示虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)是復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論、傅里葉分析、分形、流體力學(xué)、相對論、量子力學(xué)等學(xué)科中最基礎(chǔ)的對象和工具。

什么是復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)是形如a＋bi的數(shù)。式中a，b為實數(shù)，i是一個滿足i^2＝－1的數(shù)，因為任何實數(shù)的平方不等于－1，所以i不是實數(shù)，而是實數(shù)以外的新的數(shù)。

在復(fù)數(shù)a＋bi中，a稱為復(fù)數(shù)的實部，b稱為復(fù)數(shù)的虛部，i稱為虛數(shù)單位。

當(dāng)虛部等于零時，這個復(fù)數(shù)就是實數(shù)；當(dāng)虛部不等于零時，這個復(fù)數(shù)稱為虛數(shù)，虛數(shù)的實部如果等于零，則稱為純虛數(shù)。由上可知，復(fù)數(shù)集包含了實數(shù)集，因而是實數(shù)集的擴張。復(fù)數(shù)常用形式z＝a＋bi叫做代數(shù)式。

將復(fù)數(shù)的實部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該復(fù)數(shù)的模，記作∣z∣。設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，則復(fù)數(shù)z的模|z|=√a2+b2，它的幾何意義是復(fù)平面上一點(a,b)到原點的距離。

什么是共軛復(fù)數(shù)

共軛復(fù)數(shù)，兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)。當(dāng)虛部不為零時，共軛復(fù)數(shù)就是實部相等，虛部相反，如果虛部為零，其共軛復(fù)數(shù)就是自身。（當(dāng)虛部不等于0時也叫共軛虛數(shù)）復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作zˊ。同時, 復(fù)數(shù)zˊ稱為復(fù)數(shù)z的復(fù)共軛。

共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：

（1）︱x+yi︱=︱x-yi︱

（2）（x+yi）*（x-yi）=x2+y2=︱x+yi︱2=︱x-yi︱2

復(fù)數(shù)的運算法則

(1)加法運算

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)，它的實部是原來兩個復(fù)數(shù)實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。

(2)乘法運算

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)，則：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

其實就是把兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，結(jié)果中i2=-1，把實部與虛部分別合并。兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)。

(3)除法運算

復(fù)數(shù)除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商。

運算方法：可以把除法換算成乘法做，將分子分母同時乘上分母的共軛復(fù)數(shù)，再用乘法運算。