數(shù)列可以是有限項也可以是無限項，微積分研究的數(shù)列是無限項,因為微積分研究項數(shù)增多時數(shù)列一般項的變化規(guī)律。其子列也是無限項。子數(shù)列是指任取無窮多項，不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列，任何一個無窮數(shù)列都存在無窮多個子數(shù)列。

子數(shù)列的定義是什么

形式的說，設原數(shù)列為一個自然數(shù)集到某數(shù)集的映射。子數(shù)列是自然數(shù)集上的某個嚴格遞增函數(shù)，由和所得的復合函數(shù)，即。一般記作，記作。當中是這個子數(shù)列的第k項，也是原數(shù)列的第項。由不同的也有可能得到相同的子序列。

數(shù)列是幾個數(shù)按照一定的順序組成的特定排列，子數(shù)列是從一個數(shù)列中抽取幾個數(shù)，按照他們在原數(shù)列中的順序所組成的新的數(shù)列。

比如1，2，3，4，5，6是一個數(shù)列，從中抽取3，5，6三個數(shù)，這三個數(shù)組成的數(shù)列叫原數(shù)列的子數(shù)列，而數(shù)列5，6，3因為不是按照原來的順序排列的，所以不是原數(shù)列的子數(shù)列。

子數(shù)列收斂原數(shù)列是否一定收斂

我們認可這樣一個前提：改變（包括添加、刪除、改變數(shù)值）某數(shù)列的有限數(shù)目個項，不改變數(shù)列的斂散性。

可以這樣理解，數(shù)列的收斂與否我們只關心很遠很遠的數(shù)列尾巴的情況，只改變有限數(shù)目的項，都影響不到數(shù)列尾巴的情況，自然改變不了數(shù)列斂散性。

既然數(shù)列 {An} 的任何子列都收斂，我們刪去首項 A1，得到一個新數(shù)列 {An'}。

由題意，{An'} 是 {An} 的子數(shù)列，故 {An'} 收斂；而 {An'} 和 {An} 只有有限項更改，自然 {An} 必然收斂。