復(fù)合函數(shù)通俗地說就是函數(shù)套函數(shù)，是把幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合為一個(gè)較為復(fù)雜的函數(shù)。例如，函數(shù)y=cosx2，其復(fù)合過程為：y=cosu，u=x2。

關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算

復(fù)合函數(shù)，是按一定次序把有限個(gè)函數(shù)合成得到的函數(shù)，對(duì)兩個(gè)函數(shù)f：A關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算→B，g：B→C，由h(x)=g(f(x))(x∈A)確定的函數(shù)h稱為f與g的復(fù)合函數(shù)，記為g·f。這樣，g·f是A到C的函數(shù)，(g·f)(x)=g(f(x))，它的值域是g(f(A))，記號(hào)“·”表示兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合，它是二元運(yùn)算.這個(gè)運(yùn)算不滿足交換律，即一般來說g·f≠f·g，但它滿足結(jié)合律：對(duì)f：A→B，g：B→C，h：C→D，有h·(g·f)=(h·g)·f，于是可以定義h·g·f=h·(g·f)=(h·g)·f。

一般地，對(duì)n+1個(gè)滿足Bi?Ai+1(i=1，2，…，n)的函數(shù)fi：Ai→Bi(i=1，2，…，n+1)可以定義n重復(fù)合函數(shù)fn+1·fn·…·f1，任給兩個(gè)函數(shù)f：A→B，g：C→D，當(dāng)且僅當(dāng)f(A)?C時(shí)可以得到復(fù)合函數(shù)g·f：A→D；當(dāng)且僅當(dāng)g(C)?A時(shí)可以得到f·g：C→B，當(dāng)函數(shù)用變量表示為t=f(x)，y=g(t)，且f的值域含于g的定義域時(shí)，稱t為復(fù)合函數(shù)y=g(f(x))的中間變量，函數(shù)的復(fù)合是研究函數(shù)的一種工具，一方面它提供了構(gòu)造各式各樣的新函數(shù)的方法；另一方面，為研究復(fù)雜的函數(shù)，常將它們看成一些簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合(求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)常這樣做)。

指出下列函數(shù)復(fù)合過程

1.y=cosx2

2.y=sin^5x

3.y=e^cos3x

4.y=ln[arctan√(1+x2)]

參考答案

1、y=cosu,u=x2;

2、y=sinu,u=5x;

3、y=e^u,u=cosv,v=3x;

4、y=lnu,u=arctanv,v=√t,t=1+x2.