面面垂直推不出線線垂直，但線面垂直則線線垂直，即一直線垂直某平面，則該線垂直此平面內(nèi)任一直線；該線所在任何平面也垂直于此平面。在不同平面的三角形和正方形互相垂直，并不需要該三角形的任一條邊與該正方形垂直為先決條件。

判定定理

一個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面相互垂直。

幾何描述：若a⊥β，a?α，則α⊥β

證明：任意兩個平面關(guān)系為相交或平行，設(shè)a⊥β，垂足為P，那么P∈β

∵a?α，P∈a

∴P∈α

即α和β有公共點P，因此α與β相交。

設(shè)α∩β=b，∵P是α和β的公共點

∴P∈b

過P在β內(nèi)作c⊥b

∵b?β，a⊥β

∴a⊥b，垂足為P

又c⊥b，垂足為P

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角

∵c?β

∴a⊥c，即∠aPc=90°

根據(jù)面面垂直的定義，α⊥β

推論1

如果一個平面的垂線平行于另一個平面，那么這兩個平面互相垂直。

已知α⊥a，a∥β，求證α⊥β

證明：過a任意作一個平面γ與β相交，設(shè)交線為c

∵a∥β

∴a∥c（線面平行的性質(zhì)定理）

∵a⊥α

∴c⊥α（線面垂直的性質(zhì)定理）

∵c?β

∴β⊥α（定理1）

推論2

如果兩個平面的垂線互相垂直，那么這兩個平面互相垂直。（可理解為法向量垂直的平面互相垂直）

證明：設(shè)有a⊥α，b⊥β，且a⊥b

則根據(jù)線面平行的判定定理，有a∥β

∵a⊥α

∴α⊥β（推論1）

這些定理和推論都是向量法解題的基礎(chǔ)，例如向量法解得一個平面的法向量與另一個平面平行，那么這兩個平面就垂直。