函數(shù)的奇偶性

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知識點概述

1. 理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義； 

2. 學(xué)會判斷函數(shù)的奇偶性； 

3. 學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

一、定義

對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)為奇函數(shù);

對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)為偶函數(shù);

奇函數(shù)：關(guān)于原點對稱。（做題時可考慮特殊值法），f（0）=0）。F（-x）= -f（x）

偶函數(shù)：關(guān)于y軸對稱。F（-x）=f（x）

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二、函數(shù)f（x）的奇偶性

（1）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=－f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)。

（2）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)。

（3）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，f（-x）=-f（x）與f（-x）=f（x）同時成立，那么函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。

（4）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，f（-x）=-f（x）與f（-x）=f（x）都不能成立，那么函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。

說明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對整個定義域而言

②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱，如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)一定不是奇（或偶）函數(shù)。

（分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再嚴(yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f（x）比較得出結(jié)論）

③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義

三、性質(zhì)

　　(1)函數(shù)依據(jù)奇偶性分類可分為：奇函數(shù)非偶函數(shù)，偶函數(shù)非奇函數(shù)，既奇且偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù);

　　(2) f(x),g(x)的定義域為D;

　　(3)圖象特點：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;偶函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;

　　(4)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，則有f(0)=0;

　　(5)任意一個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)f(x)總可以表示為一個奇函數(shù)與偶函數(shù)的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(shù)(x)=-[f(x)+f(-x)]為偶函數(shù)，h(x)=-[f(x)-f(-x)]為奇函數(shù);

　　(6)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間具有相反的單調(diào)性。

四、奇偶函數(shù)圖像的特征

定理奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對稱圖形。

f（x）為奇函數(shù)《＝＝》f（x）的圖像關(guān)于原點對稱

點（x，y）→（-x，-y）

奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。

偶函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減。

五、奇偶函數(shù)運算

（1）兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù)。

（2）兩個奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù)。

（3）一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù)。

（4）兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù)。

（5）兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù)。

（6）一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù)。

六、拓展延伸

　　(1)一般地，對于函數(shù)y=f(x)，定義域內(nèi)每一個自變量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)成中心對稱;

　　(2)一般地，對于函數(shù)y=f(x)，定義域內(nèi)每一個自變量x都有f(a+x)=f(a-x)，則它的圖象關(guān)于x=a成軸對稱。

利用函數(shù)的奇偶性求值

利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較值的大小

利用奇偶性求函數(shù)解析式