判定定理闡述：當(dāng)一個(gè)平面包含另一平面的垂線時(shí),這兩個(gè)平面呈現(xiàn)相互垂直的狀態(tài)。由此可得推論：其一,若一個(gè)平面的垂線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面相互垂直；其二,如果兩個(gè)平面的垂線相互垂直,那么這兩個(gè)平面也互相垂直。（此推論可理解為法向量垂直的平面必然互相垂直）

面面垂直性質(zhì)定理

首先,如果兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi),任何垂直于兩平面交線的直線都將與另一個(gè)平面垂直。

其次,若兩個(gè)平面垂直,則在第一個(gè)平面內(nèi)任選一點(diǎn),向第二個(gè)平面所作的垂線,必定完全位于第一個(gè)平面內(nèi)。

最后,當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí),除了它們的交線,這兩個(gè)平面內(nèi)的任意兩條直線都將互相垂直。

面面垂直定理證明

證明過程如下：任意兩個(gè)平面的位置關(guān)系要么是相交,要么是平行。假設(shè)平面a垂直于平面β,且垂足為點(diǎn)P,那么點(diǎn)P必然屬于平面β。

由于直線a完全位于平面α內(nèi),且點(diǎn)P屬于直線a,因此點(diǎn)P也屬于平面α。

這意味著平面α和平面β有公共點(diǎn)P,所以平面α與平面β相交。

設(shè)平面α與平面β的交線為b,因?yàn)辄c(diǎn)P是平面α和平面β的公共點(diǎn),所以點(diǎn)P也屬于直線b。

在平面β內(nèi),通過點(diǎn)P作直線c垂直于直線b。

由于直線b完全位于平面β內(nèi),且直線a垂直于平面β,因此直線a也垂直于直線b,且垂足為點(diǎn)P。

同時(shí),直線c也垂直于直線b,且垂足同樣為點(diǎn)P。

因此,∠aPc構(gòu)成了二面角α-b-β的平面角。

由于直線c完全位于平面β內(nèi),直線a垂直于直線c,即∠aPc等于90°。

根據(jù)面面垂直的定義,我們可以得出平面α垂直于平面β。