反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系：反函數(shù)的定義域與值域分別是原來(lái)函數(shù)的值域與定義域；函數(shù)的反函數(shù)，本身也是一個(gè)函數(shù)；偶函數(shù)必?zé)o反函數(shù)；奇函數(shù)如果有反函數(shù)，其反函數(shù)也是奇函數(shù)。

什么是原函數(shù)

已知函數(shù)f(x)是一個(gè)定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都有dF(x)=f(x)dx，則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。

例如：sinx是cosx的原函數(shù)。

什么是反函數(shù)

一般來(lái)說(shuō)，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個(gè)函數(shù)g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數(shù)x=g(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作y=f^-1(x)。反函數(shù)y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數(shù)就是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)。

一般地，如果x與y關(guān)于某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f（x）相對(duì)應(yīng)，y=f（x），則y=f（x）的反函數(shù)為x=f(y)或者y=f^-1（x）。存在反函數(shù)(默認(rèn)為單值函數(shù)）的條件是原函數(shù)必須是一一對(duì)應(yīng)的（不一定是整個(gè)數(shù)域內(nèi)的）。注意：上標(biāo)"?1"指的是函數(shù)冪，但不是指數(shù)冪。

反函數(shù)與原來(lái)函數(shù)關(guān)系

①函數(shù)的反函數(shù)，本身也是一個(gè)函數(shù)，由反函數(shù)的定義，原來(lái)函數(shù)也是其反函數(shù)的反函數(shù)，故函數(shù)的原來(lái)函數(shù)與反函數(shù)互稱為反函數(shù)。

②反函數(shù)的定義域與值域分別是原來(lái)函數(shù)的值域與定義域。

③只有確定函數(shù)的映射是一一映射的函數(shù)才存在反函數(shù)，由此得出下面4點(diǎn)：

④偶函數(shù)必?zé)o反函數(shù)。

⑤單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。

⑥奇函數(shù)如果有反函數(shù)，其反函數(shù)也是奇函數(shù)。

⑦原函數(shù)與其反函數(shù)在他們各自的定義域上單調(diào)性相同。

⑧互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系。

函數(shù)y=f(x)的圖象和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，關(guān)于這一關(guān)系的理解要注意以下三點(diǎn)：

i）函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，這個(gè)結(jié)論是在坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)軸為x軸，縱坐標(biāo)軸為y軸，而且橫坐標(biāo)軸與縱坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)度一致的前提下得出的；

ii）（a,b）在y=f(x)的圖象上＜＝＞（b,a）在y=f-1(x)的圖象上；

iii）若y＝f(x)存在反函數(shù)y=f-1(x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的充分必要條件為f(x)＝f-1(x)，即原、反函數(shù)的解析式相同。