值域的求法有直接觀察法、配方法、判別式法、圖像法、單調(diào)性法、配方法、不等式法等。

值域的求法

化歸法

在解決問題的過程中，數(shù)學(xué)家往往不是直接解決原問題，而是對問題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，直至把它化歸為某個(gè)(些)已經(jīng)解決的問題，或容易解決的問題。把所要解決的問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個(gè)問題，再通過問題的求解，把解得結(jié)果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法。

圖像法

根據(jù)函數(shù)圖象，觀察最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

配方法

利用二次函數(shù)的配方法求值域，需注意自變量的取值范圍。

單調(diào)性法

利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式或?qū)ΨQ軸，再根據(jù)單調(diào)性來求值域。

反函數(shù)法

若函數(shù)存在反函數(shù)，可以通過求其反函數(shù)，確定其定義域就是原函數(shù)的值域。

換元法

包含代數(shù)換元、三角換元兩種方法，換元后要特別注意新變量的范圍。

判別式法

判別式法即利用二次函數(shù)的判別式求值域。

復(fù)合函數(shù)法

設(shè)復(fù)合函數(shù)為f[g(x)，]g(x)為內(nèi)層函數(shù)，為了求出f的值域，先求出g(x)的值域，然后把g(x)看成一個(gè)整體，相當(dāng)于f(x)的自變量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定義域，然后根據(jù)f(x)函數(shù)的性質(zhì)求出其值域。

三角代換法

利用基本的三角關(guān)系式，進(jìn)行簡化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求證：ac+bd小于或等于1.直接計(jì)算麻煩用三角代換法比較簡單：做法：設(shè)a=sinx，b=cosx，c=siny，d=cosy，則ac+bd=sinx*siny+cosx*cosy=cos(y-x)，因?yàn)槲覀冎纁os(y-x)小于等于1，所以不等式成立。

不等式法

基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a，b∈R+)求函數(shù)值域時(shí)，要時(shí)刻注意不等式成立的條件，即“一正，二定，三相等”。

分離常數(shù)法

把分子分母中都有的未知數(shù)變成只有分子或者只有分母的情況，由于分子分母中都有未知數(shù)與常數(shù)的和，所以一般來說我們分拆分子，這樣把分子中的未知數(shù)變成分母的倍數(shù)，然后就只剩下常數(shù)除以一個(gè)含有未知數(shù)的式子。

不等式法求值域

一般基本不等式有三種，其中a>0，b>0，a+b≥2√ab?？梢杂涀∫粋€(gè)口訣，一正二定三相等。

還有另外兩種是不需要考慮范圍的，這里明顯是用第一種，要保證兩個(gè)數(shù)相乘的時(shí)候是正數(shù)且為定值，所以要分類討論范圍，不然不能做。求出來的值域應(yīng)該有兩段。