拐點(diǎn)不一定是二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。函數(shù)y=f(x)的圖形的凹凸分界點(diǎn)稱為圖形的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)只可能是兩種點(diǎn)：二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。

原因

函數(shù)y=f(x)的圖形的凹凸分界點(diǎn)稱為圖形的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)只可能是兩種點(diǎn)：二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。

拐點(diǎn)的判別定理1：若在x0處f''(x)=0（或f''(x)不存在），當(dāng)x變動(dòng)經(jīng)過x0時(shí)，f''(x)變號(hào)，則（x0，f''(x0)）為拐點(diǎn)。

拐點(diǎn)的判別定理2：若f(x)在x0點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有三階導(dǎo)數(shù)，且f''(x0)=0，f'''(x0)≠0，則（x0，f''(x0)）為拐點(diǎn)。

原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將原函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)。一般的，函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y‘=f’（x）仍然是x的函數(shù)，則y’=f’（x）的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)。在圖形上，它主要表現(xiàn)函數(shù)的凹凸性。

拐點(diǎn)的求法

可以按下列步驟來判斷區(qū)間I上的連續(xù)曲線y=f(x)的拐點(diǎn)：

⑴求f''(x)；

⑵令f''(x)=0，解出此方程在區(qū)間I內(nèi)的實(shí)根，并求出在區(qū)間I內(nèi)f''(x)不存在的點(diǎn)；

⑶對(duì)于⑵中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)X₀檢查f''(x)在X₀左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)(X₀,f(X₀))是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)(X₀,f(X₀))不是拐點(diǎn)。