田松湖南省 懷化市2018/10/26 7:47:40

1、重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形重心。
2、外心
三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，稱為三角形外心。
3、內(nèi)心三角形內(nèi)心為三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心即是三角形內(nèi)心，內(nèi)心到三角形三邊距離相等。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。
4、垂心三角形三邊上的三條高線交于一點(diǎn)，稱為三角形垂心。
銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角的頂點(diǎn)；鈍角三角形的垂心在三角形外.。
三角形只有一個(gè)垂心
5、旁心與三角形的一邊及其他兩邊的延長(zhǎng)線都相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心叫做三角形旁心。
三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)，即三角形的旁心。旁心到三角形一邊及其他兩邊延長(zhǎng)線的距離相等。
三角形有三個(gè)旁切圓，三個(gè)旁心。這三個(gè)旁心到三角形三條邊的延長(zhǎng)線的距離相等。
五心的性質(zhì)
三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如：
（1）三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等；
（2）三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等；
（3）三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的垂心
（4）三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等；
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；
（6）三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心；
（7）三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心；
（8）三角形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足三角形的外心．
（9）三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的二倍.

宋甜甜遼寧省 海城市2018/10/26 7:47:40

重心，垂心，內(nèi)心，外心

趙欣山東省 淄博市2018/10/26 7:47:40

1 外心 外接圓圓心，為三邊中垂線交點(diǎn) ,到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等

2 內(nèi)心 內(nèi)切圓圓心，為三角角分線交點(diǎn)，到三邊的距離相等

3 重心 三條中線的交點(diǎn)

4 垂心 三條高線的交點(diǎn)

5 旁心 一個(gè)三角形內(nèi)角平分線與其不相鄰的兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等 一個(gè)三角形有三個(gè)旁心，而且一定在三角形外。

1.內(nèi)心：設(shè)I為三角形的內(nèi)心，BC=a,AC=b,AB=c,角A的平分線交BC于D,交ABC的外接圓于K，則AI/ID=AK/KI=IK/KD=b+c/a

利用性質(zhì)：KI=KB=KC 還有相似三角形，角平分線定理即可搞定

2.外心：設(shè)三角形ABC的三條邊長(zhǎng)，外接圓半徑，面積分別為a,b,c,R,S,則R=abc/4S

正弦定理啊。。。面積公式S=1/2absinC sinC=c/2R

3.重心：GA^2+GB^2+GC^2最小..這個(gè)用解析法可以。。還可以用復(fù)數(shù)，向量。。

都是配方法。。。純幾何不知道

4.垂心：三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。

證明Euler線要用到的經(jīng)典輔助線啊。。。

5.旁心：三角形ABC是三角形DEF的垂足三角形，且三角形DEF的外接圓半徑R等于三角形ABC的直徑2r（D.E.F為旁心）

去看看九點(diǎn)圓定理

6.設(shè)O,G,H,I分別為三角形ABC的外心，重心，垂心和內(nèi)心，R,r分別為外接，內(nèi)切圓半徑，則

IO^2=R^2-2Rr(歐拉公式）

r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

第一個(gè)用圓冪定理+三角表示。。兩三步搞定

第二個(gè)用面積公式。。再和差化積積化和差整理得

1.內(nèi)心：設(shè)I為三角形的內(nèi)心，BC=a,AC=b,AB=c,角A的平分線交BC于D,交ABC的外接圓于K，則AI/ID=AK/KI=IK/KD=b+c/a

2.外心：設(shè)三角形ABC的三條邊長(zhǎng)，外接圓半徑，面積分別為a,b,c,R,S,則R=abc/4S

3.重心：GA^2+GB^2+GC^2最小

4.垂心：三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。

5.旁心：三角形ABC是三角形DEF的垂足三角形，且三角形DEF的外接圓半徑R等于三角形ABC的直徑2r（D.E.F為旁心）

6.設(shè)O,G,H,I分別為三角形ABC的外心，重心，垂心和內(nèi)心，R,r分別為外接，內(nèi)切圓半徑，則

IO^2=R^2-2Rr(歐拉公式）

r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)