一、二元二次方程組的定義和兩種類型

1、二元二次方程組

在初等代數(shù)中，通常把由兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)二次方程和一個(gè)次數(shù)不超過二次的方程所組成的方程組叫做二元二次方程組。

2、二元二次方程組可分成兩種類型：

第一類型是由一個(gè)二次方程和一個(gè)一次方程所組成的方程組，它的一般形式可寫成：

$\begin{cases}F_1(x,y)=a_1x^2+b_1xy+c_1y^2+d_1x+e_1y+ f_1=0，\\F_2(x,y)=d_2x+e_2y+f_2=0，\end{cases}$

其中$a_1，b_1，c_1$不全為零，$d_2$和$e_2$也不全為零。

第二類型是由兩個(gè)二次方程所組成的方程組，它的一般形式可寫成：

$\begin{cases}F_1(x,y)=a_1x^2+b_1xy+c_1y^2+d_1x+e_1y+f_1=0，\\F_2(x,y)=a_2x^2+b_2xy+c_2y^2+d_2x+e_2y+f_2=0，\end{cases}$

其中$a_1，b_1，c_1$不全為零，$d_2$和$e_2$也不全為零。

3、二元二次方程組的解法

對(duì)于上述第一類型的二元二次方程組，可用代入消元法，從而歸結(jié)為解含一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)二次方程；而對(duì)于第二類型的二元二次方程組，經(jīng)過消元后一般將歸結(jié)為一元四次方程，但對(duì)如下幾種特殊情形還是可以用一次和二次方程的方法來求解的：

（1）存在數(shù)$m$和$n$，使$mF_1(x，y)+nF_2(x，y)$是一元方程；或是一次方程；或是可約。

（2）$F_1(x，y)$和$F_2(x，y)$均為對(duì)稱多項(xiàng)式或反對(duì)稱多項(xiàng)式。

二元二次方程組最多可能有四組解。用代入法解二元二次方程組計(jì)算量大，計(jì)算困難（尤其是解無理方程和一元四次方程），因此必須尋找更簡便的方法。

二元二次方程組求解的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，即通過“降次”、“消元”，將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程或二元一次方程組。由于這類方程組形式龐雜，解題方法靈活多樣，具有較強(qiáng)的技巧性，因而在解這類方程組時(shí)，要認(rèn)真分析題中各個(gè)方程的結(jié)構(gòu)特征，選擇較恰當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

二、二元二次方程組的相關(guān)例題

二元二次方程組$\begin{cases}x+y=3\\xy=-10\end{cases}$的解是___

A.$\begin{cases}x_1=-5\\y_1=2\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=2\\y_2=-5\end{cases}$

B.$\begin{cases}x_1=5\\y_1=2\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=2\\y_2=5\end{cases}$

C.$\begin{cases}x_1=5\\y_1=-2\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=-2\\y_2=5\end{cases}$

D.$\begin{cases}x_1=-5\\y_1=-2\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=-2\\y_2=-5\end{cases}$

答案：C

解析：由題意可知：$x、y$是一元一次方程$a^2$-3$a$-10=0的兩個(gè)根，∵$a^2$-3$a$-10=($a$-5)($a$+2)=0，∴$a_1$=5，$a_2$=-2，則不等式組的解為$\begin{cases}x_1=5\\y_1=-2\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=-2\\y_2=5\end{cases}$，故選：C。