特征值與秩的關(guān)系：如果矩陣可以對(duì)角化，那么非0特征值的個(gè)數(shù)就等于矩陣的秩;如果矩陣不可以對(duì)角化，這個(gè)結(jié)論就不一定成立。為討論方便，設(shè)A為m階方陣。證明，設(shè)方陣A的秩為n。無(wú)論特征值里有沒(méi)0，A的行列式都為所有特征值的乘積。(文章內(nèi)容來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考)

特征值與秩的關(guān)系

特征值是指設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量x，使得Ax=mx成立，則稱m是A的一個(gè)特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬于(對(duì)應(yīng)于)特征值m的特征向量或本征向量，簡(jiǎn)稱A的特征向量或A的本征向量。

秩是線性代數(shù)術(shù)語(yǔ)。在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣的秩是其非零子式的最高階數(shù)，一個(gè)向量組的秩則是其最大無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)。在解析幾何中，矩陣的秩可用來(lái)判斷空間中兩直線、兩平面及直線和平面之間的關(guān)系;在控制論中，矩陣的秩可以用來(lái)確定線性系統(tǒng)是否為可控制的(或可觀察的)。

特征值與秩的關(guān)系：如果矩陣可以對(duì)角化,那么非0特征值的個(gè)數(shù)就等于矩陣的秩;如果矩陣不可以對(duì)角化,這個(gè)結(jié)論就不一定成立。

特征值與秩的相關(guān)定理

定理1：n階方陣A可相似對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

定理2：設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A必能相似對(duì)角化。

定理3：設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，矩陣的秩r（A）=k，（0<k<n，k為正整數(shù)），則λ=0恰為A的n-k重特征值。

定理4：設(shè)A為n階方陣，矩陣的秩r（A）=k，（0<k<n，k為正整數(shù)），則λ=0至少為A的n-k的重特征值。

定理5：設(shè)A為n階方陣，矩陣的秩r（A）=k，（0<k<n，k為正整數(shù)），且A可相似對(duì)角化，則λ=0恰為A的n-k重特征值。

定理6：設(shè)A為n階方陣，矩陣的秩rf（A）=k，（0<k<n，k為正整數(shù)），且A可對(duì)角化，則λ=0恰為f（A）的n-k重特征值。